多面体的概念是什么?多面体的数学概念

2022-04-02 15:44:46

多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体。 它有三个相关的定义,在传统意义上,它是一个三维的多胞形,而在更新的意义上它是任何维度的多胞形的有界或无界推广。将后者进一步一般化,就得到拓扑多面体。

定义

由若干个面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的多边形叫做多面体的面。两个面的公共边叫做多面体的棱。若干条棱的公共顶点叫做多面体的顶点。把多面体的任何一个面伸展,如果其他各面都在这个面的同侧,就称这个多面体为凸多面体。多面体至少有4个面。多面体依面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等。把一个多面体的面数记作F,顶点数记作V,棱数记作E,则F、E、V满足如下关系:F+V=E+2。

这就是关于多面体面数、顶点数和棱数的欧拉定理,每个面都是全等的正多边形的多面体叫做正多面体。每面都是正三角形的正多面体有正四面体、正八面体和正二十面体。每面都是正方形的多面体只有正六面体即正方体,每面都是正五边形的只有正十二面体。由欧拉定理可知一共只有这5种正多面体。[1]

有两个面互相行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相行的多面体叫做棱柱。两个互相行的面叫棱柱的底面,其余各面叫棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。不在同一个面上的两个顶点的连线叫棱柱的对角线。两个底面间的距离叫做棱柱的高。侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。容易看出棱柱的侧棱的长都相等,侧面都是行四边形。两个底面与行于底面的截面是全等的多边形。过不相邻的两条侧棱的截面是行四边形。直棱柱的侧棱长与高相等,侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。底面是行四边形的四棱柱叫做行六面体。底面是矩形的直行六面体叫做长方体。棱长都相等的长方体叫做正方体。易见长方体的一条对角线的长的方等于一个顶点上3条棱长的方和,称垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面为棱柱的直截面。斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的乘积。直棱柱的底面是直截面,因此直棱柱的侧面积等于它的底面的周长与一条侧棱长的乘积。棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积。

特征

面与面之间仅在棱处有公共点,且没有任何两个面在同一面上。一个多面体至少有四个面。

通常情况下,只有当多面体的所有面均为面且单联通,并且其所包围的内部空间单联通时,才为经典多面体

注意:各面都是面的立体图形称为多面体。像圆锥、圆台因为有的面是曲面,而不被称为“多面体”。圆锥、圆柱、圆台统称为旋转体。立体图形的各个面都是的面,这样的立体图形称为多面体。

一个小窍门:从正六面体开始,每两个正多面体的棱数相同,顶点数与面数正好相反,但只适用于一部分正多面体。